Pengenalan penjuru pelbagai

Teorem binomial dapat di rumusan De Moivre untuk menghasilkan rumusan penjuru-pelbagai untuk sine dan cosine. Menurut rumusan De Moivre,

cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n . {\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.\,}

Menggunakan teorem binomial, ekspresi pada kanan dapat dipanjangkan, dan kemudian bahagian-bahagian bayangan dapat diambil untuk menghasilkan rumusan untuk cos(nx) dan sin(nx). Contohnya, sejak

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 2 = cos 2 ⁡ x + 2 i cos ⁡ x sin ⁡ x − sin 2 ⁡ x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}

Rumusan De Moivre menjelaskan bahawa

cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 2 x ) = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x , {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}

di mana pengenalan penjuru-dua biasa. Miripnya, sejak

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 3 = cos 3 ⁡ x + 3 i cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x − i sin 3 ⁡ x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}

Rumusan De Moivre menghasilkan

cos ⁡ ( 3 x ) = cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 3 x ) = 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − sin 3 ⁡ x . {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}

Pada umumnya,

cos ⁡ ( n x ) = ∑ k  even ( − 1 ) k / 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x {\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}

dan

sin ⁡ ( n x ) = ∑ k  odd ( − 1 ) ( k − 1 ) / 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x . {\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}

Turutan untuk e

nombor e sering ditakrifkan dengan rumusan

e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Menggunakan teorem binomial pada ekspresi ini menghasilkan infinite series biasa untuk e. Pada khususnya:

( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ( n 3 ) 1 n 3 + ⋯ + ( n n ) 1 n n . {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}

Jangka ke-k pada jumlah adalah

( n k ) 1 n k = 1 k ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}\;=\;{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}

Seperti n → ∞, ekspresi rasional di kanan mencapai satu, dan oleh itu

lim n → ∞ ( n k ) 1 n k = 1 k ! . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}

Ini menunjukkan bahawa e dapat dituliskan suatu turutan:

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ . {\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}

Sudah tentu, sejak tiap jangka pada pemanjangan binomial adalah suatu fungsi tambahan n, ia berikut dari teorem pertumpuan monoton untuk turutan yang jumlah turutan tidak berhad ini sama dengan e.